Il raccoglimento totale è un metodo di scomposizione dei polinomi che si basa sull'applicazione in senso contrario della proprietà distributiva, che si usa quando si moltiplica un monomio per un polinomio.
Supponiamo di voler scomporre il polinomio:
si svolgono i seguenti passaggi:
si calcola il MCD tra i monomi che compongono il polinomio:
si raccoglie a fatto comune (o si dice in modo equivalente: si mette in evidenza) il MCD dividendo per esso ciascun monomio che compone il polinomio (tenendo conto dei segni):
e poi si scrive invertendo la proprietà associativa della moltiplicazione di un monomio per un polinomio isolando il termine da "mettere in evidenza":
Abbiamo scritto il polinomio dato in partenza (che nello specifico è un binomio) come prodotto di un monomio ed un polinomio non ulteriormente scomponibile, quindi per definizione abbiamo scomposto il binomio in fattori irriducibili.
ESEMPIO 1.
Scomporre il polinomio:
Il fattore comune a tutti i termini è il loro MCD, che è 3a. Pertanto si può raccogliere a fattor comune dividendo per esso ciascun monomio che compone il polinomio (tenendo conto dei segni):
Abbiamo scritto il polinomio assegnato in partenza (che nello specifico è un trinomio in quanto composto da tre monomi) come prodotto di un monomio e un polinomio non ulteriormente scomponibile, pertanto per definizione abbiamo scomposto il trinomio in fattori irriducibili.
ESEMPIO 2.
Scomporre il polinomio:
Il fattore comune a tutti i termini è il loro MCD, che in questo caso è rappresentato dal binomio (x+1), comune ai termini del polinomio. Pertanto si può raccogliere a fattor comune dividendo per esso ciascun termine che compone il polinomio (tenendo conto dei segni):
Abbiamo scritto il polinomio come prodotto di due binomi non ulteriormente scomponibili, perciò per definizione abbiamo scomposto il polinomio in fattori irriducibili.
Ti consigliamo di guardare la seguente video-lezione per fissare i concetti introdotti e metter mano a qualche esercizio:
Ora puoi provare a svolgere qualche esercizio in autonomia e provare con il seguente calcolatore se li hai svolti correttamente:
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