La prima scoperta matematica significativa grazie alle ricerche fatte secondo il metodo di Galileo riguarda lo studio del movimento. Questo argomento era centrale per gli scienziati e matematici del Seicento, e per una buona ragione. Anche se l'astronomia di Keplero era già ampiamente accettata all'inizio del XVII secolo, soprattutto dopo le osservazioni di Galileo a favore del sistema eliocentrico, la legge di Keplero sul moto ellittico dei pianeti non era del tutto precisa. Sarebbe esatta solo se ci fossero solo il Sole e un pianeta nel cielo. Si sapeva già che altri pianeti disturbavano il moto ellittico e che il Sole influenzava l'orbita della Luna attorno alla Terra. Keplero stesso, insieme ad altri, aveva suggerito l'idea di una forza gravitazionale che agisse tra due corpi. Questo lasciava aperta la questione di calcolare meglio le posizioni dei pianeti.
Inoltre, Keplero aveva trovato le sue leggi basandosi sui dati astronomici, senza spiegare perché i pianeti seguissero orbite ellittiche. Il problema di collegare le leggi di Keplero a leggi più fondamentali del moto era una sfida per tutti gli scienziati. Oltre all'interesse teorico, questi miglioramenti avevano anche un'importanza pratica. Gli europei, cercando nuove rotte commerciali, intraprendevano lunghi viaggi in mare, lontano dalla costa. Per navigare con precisione, i marinai dovevano conoscere latitudine e longitudine. Mentre la latitudine poteva essere determinata osservando il Sole o le stelle, la longitudine era più difficile da calcolare. Nel XVI secolo, gli errori nel calcolo della longitudine potevano arrivare fino a 500 miglia. Dal 1514, si cominciò a usare la posizione della Luna rispetto alle stelle per migliorare questo calcolo, ma questo metodo, seppur un passo avanti, non era ancora abbastanza preciso.
Le navi oscillavano continuamente, rendendo difficile misurare con precisione la direzione della Luna, e anche un piccolo errore poteva portare a grossi sbagli nella determinazione della longitudine. Il miglioramento delle tavole astronomiche dipendeva quindi da una migliore conoscenza dell'orbita della Luna, e molti scienziati, tra cui Newton, si concentrarono su questo problema. Anche al tempo di Newton, però, le previsioni basate sulle tavole lunari erano così imprecise che portavano ancora a errori di circa 100 miglia.
Preoccupati per le perdite di navi, i governi europei, come quello inglese, cercavano soluzioni. Nel 1675, Carlo II d'Inghilterra fondò il Royal Observatory a Greenwich per migliorare le osservazioni sul moto della Luna. Inoltre, nel 1712 il governo britannico istituì una commissione per trovare un metodo efficace per calcolare la longitudine, offrendo una ricompensa fino a ventimila sterline per una buona idea.
Gli scienziati dell'epoca avevano anche il compito di spiegare i moti terrestri. La teoria eliocentrica sosteneva che la Terra ruotasse su se stessa e attorno al Sole. Ma se la Terra non era più al centro dell'universo, perché gli oggetti rimanevano fermi su di essa? Perché, se lanciati in aria, ricadevano sulla Terra? E perché i moti, come quello dei proiettili, sembravano avvenire come se la Terra fosse ferma? Queste domande attiravano l'attenzione di studiosi come Cardano, Tartaglia, Galileo e Newton. Le traiettorie dei proiettili, la loro gittata e altezza, e l'effetto della velocità iniziale erano questioni fondamentali per scienziati e governi, che spendevano ingenti somme per trovare soluzioni.
Un altro problema emerso dallo studio del moto era la necessità di metodi più precisi per misurare il tempo. Gli orologi meccanici, usati dal 1348, non erano abbastanza precisi per la navigazione. Si pensò che il moto del pendolo potesse essere utile per costruire orologi più accurati. Galileo aveva osservato che il pendolo ha un periodo di oscillazione costante, indipendentemente dall'ampiezza. Tuttavia, anche se furono Robert Hooke e Huygens a compiere ricerche fondamentali sul pendolo, gli orologi a pendolo non erano adatti per l'uso in mare, poiché il moto della nave influenzava la loro precisione.
Un orologio adatto per la navigazione fu progettato solo nel 1761 da John Harrison. A causa della mancanza di un orologio preciso per il mare, il moto della Luna continuò a essere il principale problema scientifico per lungo tempo.
Dallo studio del moto emerse un concetto fondamentale per la matematica: il concetto di funzione, ovvero la relazione tra variabili. Galileo descrisse molte di queste relazioni nelle sue opere, specialmente nelle *Due nuove scienze*, un libro fondamentale per la meccanica moderna. Anche se Galileo usava un linguaggio più verbale e geometrico, il simbolismo algebrico si stava sviluppando, permettendo a queste idee di essere espresse in modo più formale.
Durante il XVII secolo, molti studiosi continuarono a esplorare le funzioni, spesso in relazione a curve. Evangelista Torricelli, ad esempio, studiò curve come quella rappresentata oggi dalla funzione esponenziale. Altri, come Newton e Leibniz, svilupparono il concetto di funzione in modo più sistematico, e Johann Bernoulli introdusse il termine "funzione di x". Anche se il concetto di funzione venne perfezionato nel tempo, fin dall'inizio fu centrale nelle ricerche sul calcolo infinitesimale, gettando le basi per il progresso della matematica nei secoli successivi.
Introduzione al concetto di funzione nello specifico.
La maggior parte delle funzioni introdotte nel Seicento veniva studiata come curve, prima che il concetto di funzione diventasse completamente chiaro. Ad esempio, questo vale per le funzioni trascendenti elementari, come il logaritmo (log x), il seno (sin x), e la funzione esponenziale. Evangelista Torricelli, allievo di Galileo, in una lettera del 1644 descrisse le sue ricerche su una curva che oggi rappresenteremmo con la funzione esponenziale, anche se il suo lavoro fu pubblicato solo nel 1900. Torricelli aveva preso spunto dagli studi sui logaritmi. Anche Cartesio incontrò questa curva nel 1639, ma non fece collegamenti con i logaritmi. La sinusoide entrò in matematica collegata alla cicloide, e il suo grafico apparve nell’opera "Mechanica" di John Wallis. A quel tempo, i valori delle funzioni trigonometriche e logaritmiche erano già conosciuti con precisione.
È interessante notare che le curve, sia quelle vecchie sia quelle nuove, venivano spesso introdotte studiando il movimento. Durante l’antichità greca, alcune curve, come la quadratrice o la spirale di Archimede, venivano definite in termini di movimento, ma in quel periodo non erano considerate parte della matematica “seria”. Nel Cinquecento, invece, l’atteggiamento cambiò. Padre Mersenne, nel 1675, definì la cicloide come la traiettoria di un punto su una ruota che rotola sul terreno. Galileo, che aveva dimostrato come la traiettoria di un proiettile sparato in aria fosse una parabola, considerava anche questa curva come il percorso di un punto in movimento.
Con matematici come Roberval, Barrow e Newton, il concetto di curva come percorso di un punto in movimento divenne più chiaro e fu accettato apertamente. Newton, nel suo trattato "De quadratura curvarum" del 1676, scrisse: “Considero qui le quantità matematiche non come composte da piccole parti, ma come generate da un movimento continuo. Le linee sono generate non dall’unione delle loro parti, ma dal movimento continuo dei punti”. Questa idea era qualcosa che si poteva vedere quotidianamente nei movimenti degli oggetti.
Man mano che venivano introdotte nuove curve, furono gradualmente sviluppati termini e simboli per rappresentare le varie funzioni che descrivevano queste curve. Tuttavia, c’erano delle difficoltà che vennero riconosciute solo più tardi. Ad esempio, le funzioni della forma
dove x poteva essere positivo o negativo, intero o frazionario, vennero comunemente usate già nel Seicento. Si assumeva anche che la funzione fosse definita per i valori irrazionali di x, anche se i numeri irrazionali vennero formalmente definiti solo nel XIX secolo. Nessuno si preoccupava di usare espressioni come
che corrispondeva alla radice quadrata di x, dando per scontato che avesse senso.
La distinzione tra curve geometriche e curve meccaniche fatta da Cartesio portò alla separazione tra funzioni algebriche e trascendenti. Fortunatamente, i suoi contemporanei ignorarono il divieto di Cartesio contro le curve meccaniche. Con lo sviluppo delle quadrature (calcolo delle aree), delle somme delle serie e di altre operazioni del calcolo infinitesimale, furono scoperte e studiate molte funzioni trascendenti. La distinzione tra funzioni algebriche e trascendenti fu chiaramente formulata da James Gregory nel 1667, quando cercò di dimostrare che l’area di un settore circolare non poteva essere una funzione algebrica del raggio e della corda. Leibniz dimostrò successivamente che il seno di un angolo (sin x) non poteva essere una funzione algebrica di x, confermando così il risultato che Gregory cercava.
L’uso e la comprensione delle funzioni trascendenti si diffusero gradualmente. La definizione più chiara del concetto di funzione nel Seicento venne data da James Gregory, che definì una funzione come una quantità ottenuta da altre quantità tramite operazioni algebriche o altre operazioni. Gregory aggiunse che, oltre alle operazioni algebriche di base, era necessario includere anche il "passaggio al limite" (oggi noto come concetto di limite) per risolvere alcuni problemi di quadratura. Anche se questa definizione venne in seguito dimenticata, mostrava comunque una visione lungimirante, anche se un po' ristretta rispetto a ciò che il concetto di funzione sarebbe diventato.
Newton, nei suoi primi lavori sul calcolo infinitesimale, a partire dal 1655, utilizzò il termine "fluente" per descrivere una relazione tra variabili. In un manoscritto del 1673, Leibniz usò per la prima volta il termine "funzione" per indicare una quantità che variava da un punto all’altro di una curva, come la lunghezza della tangente o della normale a una curva. Leibniz introdusse anche i termini "costante", "variabile" e "parametro". Successivamente, Johann Bernoulli, lavorando sulle funzioni, usò il termine "funzione di x" per indicare una quantità che dipendeva da x. Nel 1718, Bernoulli adottò la notazione φ(x) per indicare una funzione, e poco dopo, nel 1734, Euler introdusse la notazione f(x), che divenne standard in matematica.
Il concetto di funzione divenne immediatamente centrale negli studi sul calcolo infinitesimale.
Schematizzazione del brano
1. Moto e Scoperte Matematiche
Problema del moto: centrale per gli scienziati del XVII secolo.
Keplero: leggi del moto ellittico → approssimate, non spiegano il "perché".
Necessità di migliorare il calcolo delle posizioni dei pianeti.
Forza gravitazionale: proposta da Keplero, influenza tra corpi.
2. Implicazioni Pratiche per la Navigazione
Problema della longitudine:
Calcolo difficile: Errori fino a 500 miglia.
Uso della posizione della Luna rispetto alle stelle (dal 1514).
Tavole astronomiche: non precise, Luna difficile da misurare.
Necessità di migliorare l'orbita lunare (scienziati come Newton coinvolti).
3. Effetti della Rotazione della Terra
Problemi terrestri:
Perché gli oggetti cadono se la Terra ruota?
Moti dei proiettili, rotazione terrestre, gittata.
Soluzioni cercate da Galileo, Newton, ecc.
4. Misurazione del Tempo
Orologi imprecisi:
Dal 1348: orologi meccanici usati.
Pendolo: studiato da Galileo, Huygens e Hooke → non adatto per navi.
John Harrison (1761): orologio per la navigazione.
5. Concetto di Funzione
Introduzione del concetto: relazioni tra variabili → centrale per la matematica.
Galileo: espressioni verbali delle funzioni, proporzioni.
Funzioni e curve: legate al moto.
Torricelli: funzione esponenziale.
Sinusoide: derivata dalla cicloide.
Cartesio: distinzione curve geometriche vs meccaniche.
Newton e Leibniz:
Definizione di "funzione", "variabili", "parametri".
Uso di funzioni in calcolo infinitesimale.
Johann Bernoulli: introduzione della notazione f(x) e φ(x).
Euler (1734): simbolismo moderno per le funzioni.
6. Funzioni Trascendenti
Logaritmi, seno, esponenziale:
Studiate come curve prima che il concetto di funzione fosse chiaro.
Torricelli e Cartesio: ricerche su curve come la funzione esponenziale.
James Gregory: distinzione tra funzioni algebriche e trascendenti.
Leibniz: dimostra che sin x non è funzione algebrica.
Concetto di limite: introdotto per funzioni trascendenti.
7. Sviluppo delle Notazioni e Definizioni
James Gregory: funzione = quantità derivata da operazioni algebriche o altro.
Newton: "fluente" = relazione tra variabili.
Leibniz: primo uso del termine "funzione" (1673).
Bernoulli (1698): usa il termine "funzione di x".
Euler (1734): notazione f(x) standard per la matematica.
Comments