Subito dopo l’introduzione del concetto di funzione, si sviluppò il calcolo infinitesimale, una delle più grandi scoperte matematiche dopo la geometria euclidea.
Pur fornendo in parte soluzioni a problemi già affrontati dai Greci, il calcolo infinitesimale fu concepito per affrontare le principali sfide scientifiche del XVII secolo.
Queste sfide rientravano in quattro categorie principali.
Il primo problema riguardava il moto: data una formula che descrive la posizione di un corpo in funzione del tempo, si cercava di determinare la velocità e l’accelerazione istantanee. Viceversa, a partire dalla formula dell’accelerazione in funzione del tempo, si voleva calcolare la velocità e lo spazio percorso. La complessità derivava dal fatto che velocità e accelerazione variavano continuamente. Per esempio, non era possibile calcolare la velocità istantanea semplicemente dividendo lo spazio percorso per il tempo trascorso, come nel caso della velocità media, poiché in un dato istante sia lo spazio che il tempo sono pari a zero, rendendo la frazione 0/0 priva di significato. Tuttavia, era evidente che ogni oggetto in movimento ha una velocità in ogni istante del suo percorso. Analogamente, trovare lo spazio percorso conoscendo la velocità presentava difficoltà simili, poiché la velocità cambiava continuamente.
Il secondo problema consisteva nel determinare la tangente a una curva. Questo era un problema di interesse sia geometrico sia scientifico. L'ottica, uno dei campi di studio più importanti del XVII secolo, richiedeva la conoscenza della tangente per comprendere come la luce colpisce una lente e applicare la legge della rifrazione. Studiosi come Fermat, Descartes, Huygens e Newton erano direttamente coinvolti nella progettazione delle lenti. L'angolo di incidenza della luce dipendeva dalla tangente alla curva della lente, e la normale, perpendicolare alla tangente, era cruciale per determinare la direzione della rifrazione. Anche nello studio del moto, la direzione di un corpo in movimento in ogni punto della sua traiettoria coincide con la tangente alla traiettoria stessa.
Rifrazione e riflessione della luce A quel tempo, persino il concetto di "tangente" era in evoluzione. I Greci definivano la tangente come una retta che tocca la curva in un solo punto e rimane su un unico lato della curva, una definizione che funzionava per le coniche, ma risultava insufficiente per le curve più complesse che si stavano studiando nel XVII secolo.
Il terzo problema riguardava la ricerca dei valori massimi e minimi di una funzione. Un esempio pratico era determinare l'angolo ottimale di inclinazione di un cannone per massimizzare la gittata di un proiettile. Galileo dimostrò che, nel vuoto, la gittata massima si otteneva con un angolo di 45° e calcolò le altezze massime raggiunte dai proiettili a diversi angoli. Problemi simili si presentavano anche nello studio del moto planetario, dove si cercava di calcolare le distanze massime e minime dei pianeti dal Sole.
Problema del lancio del proiettile Infine, il quarto problema riguardava il calcolo di lunghezze di curve, aree delimitate da curve, volumi racchiusi da superfici, baricentri di corpi e l’attrazione gravitazionale esercitata da un corpo esteso, come un pianeta, su un altro corpo. I Greci avevano sviluppato il metodo di esaustione per calcolare alcune aree e volumi, ma questo metodo, pur ingegnoso, mancava di generalità e spesso non forniva soluzioni numeriche precise. L’interesse per il calcolo di lunghezze, aree, volumi e baricentri si riaccese in Europa con la riscoperta delle opere di Archimede. Il metodo di esaustione fu dapprima modificato gradualmente, fino a essere trasformato radicalmente con l’avvento del calcolo infinitesimale.
In questo modo, il calcolo infinitesimale fornì strumenti potentissimi per affrontare problemi scientifici e geometrici di estrema complessità, rivoluzionando profondamente la matemil atica.
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