Si chiama CIRCONFERENZA di centro C e raggio r (con r numero reale positivo) il luogo dei punti del piano che hanno distanza dal centro uguale a r.
Come si traduce questa definizione in un piano cartesiano?
Qual è l'equazione cartesiana di una circonferenza di centro C e raggio r?
Per poter rispondere a questa domanda bisogna tradurre in una equazione la proprietà caratteristica dei punti della circonferenza: cioè quella dell'essere equidistanti da un punto fissato e che tale distanza sia uguale ad un valore fissato anch'esso.
Prendiamo il centro C di coordinate:
Fissiamo un valore r, numero reale positivo.
Prendiamo un punto generico della circonferenza che chiamiamo P(x;y).
Rappresentando graficamente avremo:
Adesso applichiamo in termini concreti la condizione che P deve essere a distanza fissata da C uguale a r.
Applichiamo, quindi, la legge che esprime la distanza tra due punti:
e la poniamo uguale al raggio:
eleviamo entrambi i membri alla seconda, essendo positivi:
ricordiamo che radice quadrata e potenza alla seconda sono l'una operazione inversa dell'altra, per cui:
Quindi la circonferenza di centro C e raggio r è il luogo dei punti del piano che verificano la seguente equazione:
Esempio. Scrivere l'equazione della circonferenza avente centro in C (1;-3) e raggio uguale a 4.
Applichiamo la definizione di circonferenza:
Equazione della circonferenza in forma normale
Partendo dall'equazione ricavata sopra:
possiamo sviluppare entrambi i quadrati dei binomi ed ottenere:
ordiniamo il polinomio:
Le tre espressioni scritte colorate rappresentano delle grandezze costanti e non delle variabili e sono tipiche di ogni circonferenza. Pertanto possono essere indicate direttamente con delle lettere che le rappresentano per intero:
In questo modo l'equazione della circonferenza assume la forma:
che viene detta EQUAZIONE NORMALE o EQUAZIONE CANONICA della circonferenza.
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