Cosa rende i numeri primi così speciali? Perché da più di duemila anni catturano l'attenzione dei matematici, spingendoli a indagarne i misteri? Intraprendiamo un viaggio affascinante alla scoperta di questa famiglia unica di numeri, che non solo ha segnato profondamente la storia della matematica, ma riveste anche un ruolo cruciale nelle moderne applicazioni di crittografia e informatica.
Che ruolo hanno i numeri primi?
I numeri primi sono uno dei rari temi della matematica pura che, di tanto in tanto, riescono a fare notizia, anche se solo quando viene infranto un record, un po' come avviene per le discipline meno popolari dell'atletica leggera.
Il numero primo più grande attualmente è:
un numero con 24 862 048 cifre.
I numeri primi restano uno degli argomenti più affascinanti della matematica: nonostante la loro definizione sia sorprendentemente semplice (numeri divisibili solo per 1 e per sé stessi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ecc.), essi hanno importanti applicazioni pratiche e continuano a porre ai matematici questioni irrisolte.
I numeri primi svolgono per l’algebra un ruolo simile a quello che gli elementi della tavola periodica hanno per la chimica: sono le unità fondamentali su cui si costruisce tutto il sistema. Così come una molecola d’acqua è composta da due atomi di idrogeno e uno di ossigeno (H₂O), allo stesso modo il numero 12 è il prodotto dei numeri primi 2 ∙ 2 ∙ 3.
In chimica, gli atomi si legano attraverso i legami chimici; nell’algebra, i numeri primi si combinano tramite la moltiplicazione. La "formula" del numero 12 si scrive:
e prende il nome di fattorizzazione.
Come la formula chimica, anche la fattorizzazione è unica: l’unica variazione possibile riguarda l’ordine dei fattori che non ha importanza in quanto la moltiplicazione gode della proprietà commutativa. Tuttavia, per convenzione, si dispongono in ordine crescente.
C'è però una differenza cruciale: mentre gli elementi chimici sono relativamente pochi (al momento ne conosciamo 118, con l’eventualità di scoprirne altri in futuro, ma non molti), i numeri primi sono infiniti, e quindi la ricerca di numeri primi sempre più grandi non avrà mai fine. Questa infinità dei numeri primi era già nota ai Greci, come documentato negli "Elementi" di Euclide, uno dei testi più importanti della matematica antica. È probabile che i numeri primi fossero già conosciuti da civiltà più antiche, come gli Egizi e i Mesopotamici, ma i primi studi sistematici risalgono proprio ai Greci.
Come si cercano i numeri primi?
Il metodo più semplice e intuitivo per cercare un numero primo consiste nel prendere un numero e verificare se lo è. Il più antico sistema conosciuto per farlo è il crivello di Eratostene, ideato dal matematico greco nel III secolo a.C. Il procedimento è facile da comprendere: se, ad esempio, vogliamo trovare tutti i numeri primi minori di 1000, iniziamo scrivendo tutti i numeri naturali fino a 1000. Successivamente, eliminiamo progressivamente i multipli di 2, poi quelli di 3, e così via. Alla fine, rimarranno solo i numeri primi.
Una versione più avanzata di questo metodo viene ancora oggi impiegata nei software utilizzati per la ricerca dei numeri primi. Tuttavia, ci sono altri approcci che migliorano ulteriormente l’efficienza. Uno dei più importanti riguarda una classe speciale di numeri primi, i numeri primi di Mersenne, studiati dal matematico francese Marin Mersenne nel Seicento. Questi numeri sono espressi nella forma
dove p è un numero primo. Non sempre, però, un numero della forma
è primo, anche se p lo è.
I numeri primi di Mersenne attirano l’attenzione dei matematici perché, oltre al crivello di Eratostene, esiste un algoritmo particolarmente efficiente per verificarne la primalità.
Di conseguenza, la ricerca dei numeri primi si concentra soprattutto su questa categoria: si sceglie un numero primo p, si calcola
e si verifica se è primo.
Nel 1996 è nata l'iniziativa "Great Internet Mersenne Prime Search" (GIMPS), un progetto collettivo che coinvolge migliaia di volontari in tutto il mondo nella ricerca di numeri primi di Mersenne. Grazie a questo progetto, tutti i più grandi numeri primi scoperti di recente appartengono a questa categoria. I programmi utilizzati da GIMPS e da altri ricercatori combinano diversi metodi: per esempio, impiegano un crivello simile a quello di Eratostene per escludere rapidamente i primi divisori di un numero, e successivamente applicano algoritmi più avanzati per gli altri fattori. Nella maggior parte dei casi, il computer trova un divisore e scarta il candidato.
Quali sono i campi d'impiego dei numeri primi?
Il principale utilizzo dei numeri primi oggi è nella crittografia, la scienza dei codici segreti. Questa tecnica, usata da sempre in ambito militare, è ora cruciale nell'era delle password e dei codici bancari. Crittografare un messaggio significa prima codificarlo (trasformare il messaggio in codice) e poi decodificarlo (ricostruire il messaggio originale) da parte del destinatario.
Un esempio storico di crittografia è il codice di Giulio Cesare, dove ogni lettera viene sostituita da quella che la segue di tre posizioni nell'alfabeto. Ad esempio, "Cesare" diventa "Fhvduh". Questo metodo, però, era vulnerabile: se il nemico scopriva la "chiave", poteva decifrare facilmente il messaggio.
Oggi, il sistema più diffuso è l'RSA, inventato nel 1976, che si basa sui numeri primi. L'idea è semplice: immagina che Beatrice voglia inviare un messaggio segreto a Dante. Prima, Dante sceglie due numeri primi grandi, p e q, e li moltiplica per ottenere n, che rende pubblico. Beatrice usa n per codificare il suo messaggio, ma solo Dante, conoscendo p e q, può decodificarlo. Questo perché è facile trovare n da p e q, ma difficilissimo fare l'inverso. Anche se una spia conosce n, non potrà decodificare il messaggio senza p e q.
L’uso dei numeri primi rende questa operazione sicura, perché se p e q non fossero primi, sarebbe molto più facile risalire a loro partendo da n.
I numeri primi usati nella crittografia sono molto grandi, ma non vicini al record: hanno centinaia di cifre, ben oltre il peso dell’universo espresso in chili. Non serve esagerare, perché se un numero n ha almeno 300 cifre, anche con milioni di computer ci vorrebbero più di mille anni per trovare i due numeri primi, p e q, e decodificare il messaggio. Se un giorno serviranno numeri ancora più grandi, basterebbe passare da numeri con centinaia di cifre a quelli con migliaia di cifre.
Perché è importante trovare numeri primi sempre più grandi?
Tuttavia, la ricerca di numeri primi sempre più grandi non ha un impatto diretto sulla crittografia. Ma questo non significa che sia inutile. Da un lato, espande le nostre conoscenze a costi molto contenuti. Dall’altro, i programmi che verificano se un numero è primo sono utili per testare l'affidabilità dei computer. Ad esempio, il software di Gimps ha rilevato un errore nel sistema Skylake di Intel. Inoltre, come ha detto Sidney Keith, della società Squirrels, le tecnologie usate per confermare l’esattezza di un numero primo potrebbero un giorno aiutare a verificare la correttezza dei risultati in ricerche mediche, come quelle per una cura contro il cancro.
Quali sono i problemi aperti?
In nessun altro campo della matematica esistono domande così semplici da formulare, ma che ancora non hanno risposta. Un esempio è la cosiddetta "congettura di Goldbach", che chiede se ogni numero pari (a parte il 2) possa essere scritto come somma di due numeri primi. A prima vista sembra vero: ad esempio, 4 = 2 + 2, 10 = 3 + 7, 48 = 31 + 17, e così via. Questa congettura fu proposta nel 1742 in una lettera tra il matematico tedesco Christian Goldbach e il matematico svizzero Eulero. Anche se l'ipotesi è valida per tutti i numeri testati finora, non esiste una dimostrazione generale, quindi nessuno può dire con certezza se ci sia un numero pari per cui non vale.
Tra i tanti misteri legati ai numeri primi, il più rilevante è l’ipotesi di Riemann. Anche se non si occupa direttamente dei numeri primi, questa congettura riguarda una funzione complessa che, se fosse verificata, ci permetterebbe di capire meglio come i numeri primi sono distribuiti tra i numeri naturali. Sappiamo che i numeri primi sono infiniti, ma non conosciamo il loro "schema" di apparizione. Questa ipotesi, formulata dal matematico tedesco Bernhard Riemann (1826-1866), è considerata uno dei problemi matematici più difficili ancora irrisolti. È l'unica congettura che compare sia nella lista dei 23 problemi più importanti proposta dal matematico David Hilbert nel 1900, sia tra i sette "problemi del millennio" presentati dal Clay Mathematics Institute nel 2000, con un premio di un milione di dollari per chiunque riesca a risolverli.
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