Il dominio di una funzione y=f(x) è l'insieme di tutti i valori che può assumere la variabile indipendente x.
Indicazioni per determinare il dominio di una funzione
Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, per cui in questo caso il dominio coincide con tutto l'insieme dei numeri reali.
Esempio. Determinare il dominio della funzione:
La funzione è una razionale intera che è espressa come somme, sottrazione e prodotti, pertanto il suo dominio coincide con tutto l'insieme dei numeri reali e si scrive:
Volendo rappresentare il dominio in un sistema di riferimento cartesiano avremo: tutta l'area del piano:
L'operazione di divisione è definita per tutti i valori ad eccezione di quando il divisore è uguale a zero, perché non si può dividere per zero.
Per cui, per determinare il dominio in questo caso bisogna porre il denominatore diverso da zero ed escludere dal dominio i valori per cui il denominatore si annulla.
Esempio. Determinare il dominio della funzione:
La funzione è una razionale fratta, in quanto la variabile indipendente si trova a denominatore, pertanto per determinare il dominio bisogna porre il denominatore diverso da zero:
cioè tutti i valori vanno bene ad eccezione di 1, valore per cui il denominatore si annulla e quindi la funzione perde di significato, perché, come detto sopra, non si può dividere per zero.
Quindi, il dominio della funzione f è rappresentato dal seguente insieme:
che può essere scritto anche come:
o anche come:
Volendo rappresentare il dominio della funzione f in un sistema di riferimento cartesiano avremo tutto il piano ad eccezione dei punti che hanno come ascissa 1, cioè i punti con x=1. Per cui, siccome x=1 rappresenta una retta (in particolare, parallela all'asse delle x), la rappresentiamo con una linea tratteggiata ad indicare che in quei punti la funzione non esiste.
Un radicale di indice pari è definito solo se il radicando è maggiore o uguale a zero.
Per cui, per determinare il dominio in questo caso bisogna porre cioè che sta sotto radice maggiore o uguale a zero e risolvere la disequazione.
L'indice chiaramente è il numero che indica il grado della radice ed è pari quando assume come valore 2 o 4 o 6 o ...
Esempio. Determinare il dominio della funzione:
Anche se sottinteso, l'indice della radice in questione è due, trattandosi di una radice quadrata.
La funzione è una irrazionale intera con indice pari, pertanto per determinare il dominio bisogna porre il radicando, cioè quello che sta sotto radice, maggiore o uguale a zero e risolvere la disequazione:
Quindi il dominio della funzione f può essere rappresentato nel seguente modo:
o anche come:
Volendo rappresentare il dominio in un sistema di riferimento cartesiano:
Chiaramente la funzione in esame si svilupperà nella zona in arancione, mentre non assumerà alcun valore nella zona in bianco, per cui la zona in bianco si potrebbe tranquillamente sbarrare per indicare in quale zona concentrare la nostra attenzione per sviluppare il grafico della funzione.
Un radicale di indice dispari è sempre definito nei punti in cui è definito il radicando.
Per cui, per determinare il dominio in questo caso bisogna determinare il dominio di ciò che sta sotto radice, trascurando del tutto il fatto che esista una radice.
L'indice chiaramente è il numero che indica il grado della radice ed è dispari quando assume come valore 3 o 5 o 7 o ...
Esempio. Determinare il dominio della funzione:
La funzione è una irrazionale intera con indice dispari, pertanto per determinare il dominio dobbiamo concentrarci sul radicando, che è una funzione intera pertanto è sempre definita, quindi il dominio coincide con l'insieme dei numeri reali e si può tranquillamente scrivere:
e volendolo rappresentare avremo il piano cartesiano per intero senza escludere alcun punto.
Riassumendo quanto detto in uno schema:
Puoi esercitarti a trovare il dominio di alcune funzioni e verificare il risultato ricavato con il seguente calcolatore di domini:
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