Esistono situazioni complesse che vedono in gioco tante quantità in contemporanea e devono sottostare a delle condizioni valide in contemporanea anch’esse.
Sapreste trovare la soluzione all'enigma sopra? che valore ha una mela? o una mora? e una banana?
Pensiamo, per esempio, all’organizzazione del trasporto su una linea ferroviaria. Ci sono orari, distanze, velocità, quantità di merci o numero di passeggeri, composizione dei treni. Tutto questo spesso deve fare i conti con il fatto che i viaggi avvengono su due binari, uno per l’andata ed uno per il ritorno, o in alcuni casi, su un unico binario. Anche la messa in orbita di un satellite richiede calcoli complessi e precisi di accelerazione, velocità, curvatura della traiettoria, quantità di carburante e così via.
Questo è simile alla risoluzione di giochi di enigmistica come il sudoku, in cui ogni casella può assumere valori da 1 a 9, ma in modo tale che lo stesso numero non venga ripetuto sulla stessa riga, sulla stessa colonna e sullo stesso quadrato 3x3. Le variabili e le condizioni da soddisfare contemporaneamente sono tante.
Tutti questi problemi possono essere risolti con lo stesso strumento matematico: i sistemi lineari.
Vediamo un breve video introduttivo in cui vengono presentati tutti i concetti esposti di seguito. Ti consiglio di vedere il video con attenzione e poi di soffermarti nello studio dei concetti introdotti di seguito:
Vediamo di riprendere e sviluppare i concetti appena introdotti:
DEFINIZIONE. Un SISTEMA DI EQUAZIONI è l’insieme di due o più equazioni che devono essere verificate contemporaneamente.
DEFINIZIONE. L’insieme delle soluzioni di un sistema è formato dalle soluzioni che verificano tutte le equazioni contemporaneamente.
Per indicare un sistema si scrivono le sue equazioni all’interno di una parentesi graffa aperta:
Vediamo che il sistema è costituito da due equazioni in due incognite, x e y.
DEFINIZIONE. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.
Il grado di un’equazione è il massimo grado a cui risulta elevata l’incognita. Essendo uno, il sistema è di primo grado.
I sistemi di primo grado si dicono SISTEMI LINEARI.
ESEMPIO 1. Il sistema
è lineare, perché sia x che y hanno come grado 1.
ESEMPIO 2. Il sistema
non è un sistema lineare, perché x è di secondo grado, mentre y di primo, pertanto il sistema risulta essere di secondo grado.
Sulla base delle soluzioni che ammette il sistema è possibile parlare di sistemi determinati, indeterminati o impossibili.
La SOLUZIONE di un sistema di due equazioni in due incognite è una coppia ordinata di numeri che soddisfa entrambe le equazioni.
Per esempio il sistema
ha come soluzione la coppia ordinata (1;5) che equivale a dire che la soluzione del sistema è x=1 e y=5.
Come si fa a verificare che la coppia trovata sia effettivamente la soluzione del sistema?
Basta sostituire alle incognite i relativi valori e vedere se si ottengono effettivamente due identità:
si ottengono due identità, quindi la soluzione è chiaramente verificata.
Un sistema è:
DETERMINATO, se ammette un numero finito di soluzioni;
INDETERMINATO, se ammette un numero infinito di soluzioni;
IMPOSSIBILE, se non ammette soluzioni.
Due o più sistemi sono EQUIVALENTI se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Per risolvere i sistemi si utilizzano dei metodi, che sono:
RIDUZIONE
CRAMER
I metodi possono essere utilizzati indistintamente e condurranno alla stessa soluzione.
Un sistema di due equazioni in due incognite si dice scritto in forma canonica o normale se è scritto sotto la forma:
Dove i termini in x ed in y stanno a primo membro mentre i termini noti a secondo membro.
I numeri 7 e 3 si chiamano coefficienti della variabile x, mentre 1 e -2 si dicono coefficienti della variabile y. 6 e -9 sono, invece, i termini noti.
Il termine coefficiente deriva dal latino CUM = con, insieme ed EFFICIENTE(M) = participio presente di efficere, cioè produrre. Di fatto è il numero o quantità conosciuta posta avanti ad una quantità algebrica che la moltiplica. È detta così perché la quantità algebrica ed il coefficiente concorrono a generare un solo prodotto.
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