I legami tra i coefficienti numerici dell'equazione della parabola e il suo grafico

Chiaramente il grafico della parabola dipende dal valore dei coefficienti a, b e c che compaiono nella sua definizione. Vediamo in che modo.

• Dal segno di a possiamo dedurre informazioni circa la concavità della parabola:

- se a è positivo, la concavità della parabola è rivolta verso l'alto;

- se a è negativo, la concavità della parabola è rivolta verso il basso.

Legame tra il segno del coefficiente a e la concavità della parabola

• Il valore assoluto di a (il valore senza il segno) fornisce informazioni sull'apertura della parabola: al crescere di a la parabola si stringe, mentre al diminuire di a la parabola si allarga.

Legame tra il valore assoluto del coefficiente a e l'apertura della parabola

• Se i coefficienti a e b sono concordi (cioè hanno lo stesso segno), allora il vertice ha ascissa negativa, mentre se a e b sono discordi (cioè hanno segno opposto), allora il vertice ha ascissa positiva. L'ascissa del vertice è espressa dalla seguente relazione:

Pertanto, è negativa quando a e b hanno lo stesso segno, perché davanti c'è il segno meno.

Mentre è positiva quando a e b hanno segno diverso, così il segno del loro rapporto è negativo e col meno che sta davanti diventa positivo.

• Il coefficiente c rappresenta l'ordinata del punto in cui la parabola interseca l'asse delle y, infatti se mettiamo a sistema l'equazione di una parabola qualsiasi con l'equazione dell'asse delle y (x=0) abbiamo:

Legame tra il coefficiente c e l'ordinata dell'intersezione della parabola con l'asse delle y

Ricapitolando con uno schema quanto appena detto: