Comincia la fase di elaborazione dei dati organizzato i dati rilevati in tabelle, che di solito riportano sulle righe le unità statistiche e sulle colonne le modalità osservate. Vediamone un esempio:
La tabella sopra riportata contiene i dati grezzi relativi alla rilevazione "valutazione riportata nell'ultima verifica di matematica". Il campione dell'indagine è la classe, le unità statistiche sono i quindici alunni della classe in esame identificati con i numeri da 1 a 15, il carattere è il voto, la cui modalità è costituita dai numeri da 4 a 10 considerando anche i mezzi voti. Si tratta pertanto di un carattere quantitativo discreto.
La tabella sopra riportata rappresenta una prima organizzazione dei dati grezzi, dove ad ogni unità statistica viene associata la propria modalità dichiarata. Si chiamano dati disaggregati, perché non ancora raggruppati. Una prima forma di elaborazione per ottenere una maggiore sintesi consiste nel costruire una ulteriore tabella, in cui a ciascuna modalità osservata viene associato il numero di volte che è stata rilevata.
Il numero di volte che una modalità è stata osservata si chiama frequenza assoluta (o anche solo frequenza).
Associando ad ogni modalità (riportata una sola volta) il numero di volte che viene osservata si ottiene una ulteriore tabella che sintetizza quella sopra e che la rende maggiormente leggibile:
La funzione che associa a ogni modalità di un carattere il numero di volte che viene rilevata (cioè la rispettiva frequenza) viene detta funzione di distribuzione delle frequenze (o semplicemente distribuzione di frequenze) e si rappresenta con una tabella come quella sopra, con due colonne, in cui la prima riporta le modalità e la seconda le relative frequenze. Nell'ultima riga, per comodità e per controllo, si rappresenta la somma delle frequenze, che deve risultare uguale al numero di individui che costituiscono la popolazione (o campione) indagato.
Distribuzione di frequenze relative e percentuali
Ha senso parlare di frequenza assoluta quando vogliamo valutare l'incidenza di una modalità in una data popolazione o campione. Per esempio, nel caso dell'esito di una verifica di matematica magari da insegnante vorrei poter vedere quanti 4 o 5 ci sono stati e anche quanti 8 o 9 o addirittura 10. Ma se volessi confrontare l'esito della verifica svolta in due classi composte da un numero differente di alunni ha ancora senso valutare la frequenza assoluta?
Dire che in una classe tre persone hanno preso 6, mentre nell'altra classe due persone hanno preso 6 che tipo di confronto ci permette di fare? nessuno. Ecco che diventa importante introdurre un altro tipo di frequenza: la frequenza relativa.
La frequenza relativa di una modalità è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero complessivo di individui nel collettivo (o popolazione):
Accanto alla frequenza relativa si introduce la frequenza percentuale, che corrisponde alla frequenza relativa espressa in percentuale, ossia moltiplicata per 100:
Proseguendo con l'esempio dei voti registrati nell'ultima verifica di matematica avremo:
Dalla tabella si può vedere che:
le frequenze relative sono valori compresi tra zero e uno;
la somma delle frequenze assolute di tutte le modalità è sempre uguale al numero complessivo di individui del collettivo;
la somma delle frequenze relative è sempre uguale a uno (l'intero);
la somma delle frequenze percentuali è sempre 100%.
È buona prassi aggiungere la riga delle somme perché, oltre che per calcolare le frequenze relative, è un valore utile per verificare la correttezza di quello che si sta facendo. Infatti, se il totale delle frequenze relative non è uguale a 1, o la somma delle frequenze assolute non coincide con la cardinalità della popolazione indagata o la somma delle frequenze relative percentuali non è uguale a 100%. Costituiscono, cioè, tutti degli indicatori di correttezza o meno della procedura.
Frequenze cumulate
Riferendoci all'esempio dell'esito della verifica di Matematica potrebbe essere utile chiedersi in quanti hanno preso l'insufficienza o quanti hanno preso al massimo 7 o 8.
Introduciamo a tal scopo un tipo di frequenza particolare, ma prima è necessario ordinare in maniera crescente le modalità indagate, dopodiché andiamo a calcolare la frequenza cumulata.
La frequenza cumulata di ogni modalità è la somma delle frequenze assolute di tutte le modalità minori o uguali ad essa.
In maniera chiara ed immediata, osservando la colonna delle frequenze cumulate possiamo rispondere alle domande poste sopra:
4 alunni hanno riportato una valutazione insufficiente;
12 alunni hanno preso al massimo 7;
14 alunni hanno preso al massimo 8.
In assenza di ulteriore specificazione quando parliamo di frequenza cumulata ci riferiamo a quella assoluta cumulata, ma potremmo utilizzare la frequenza relativa cumulata e la frequenza percentuale cumulata a seconda di quello che vogliamo rilevare.
Riassumendo:
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